「円周率が\(3.05\)より大きいことを証明せよ」
この問題は東京大学の過去の入試（2003年度）で出題された問題です。
あなたはどのように解きますか？
模範解答
半径\(1\)の円の周の長さとその円に内接する正八角形の周の長さを比較します。
円の周の長さは、定義より、
\(2\pi×1=2\pi\)
正八角形の周の長さは、余弦定理より、
\(8×\sqrt{1＋1-2\cos 45^{\circ}}=8\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
両者を比較し、
\(2\pi>8\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
↔ \(\pi>4\sqrt{2-\sqrt{2}}\)\(＝3.061…>3.05\)
以上より、円周率が\(3.05\)より大きいことを証明できました。
周の長さ vs 面積
上の模範解答では円の「周の長さ」と内接する正八角形の「周の長さ」を比較しています。
それでは、「面積」で比較するとどうなるのでしょうか。
正八角形の場合
円の面積は、公式より、
\(\pi×1^2=\pi\)
正八角形の面積は、面積公式より、
\(8×1/2×\sin 45^{\circ}=2\sqrt{2}\)
両者を比較し、
\(\pi>2\sqrt{2}=2.828…\)
以上より、正八角形の面積の比較では円周率が\(3.05\)より大きいことを証明できないことがわかりました。
正多角形での一般化
正\(n\)角形（\(n=3,4,5,…\)）で一般化して考えてみましょう。
円の周の長さとその円に内接する正\(n\)角形の周の長さの比を\(l(n)\)とすると、
\(\displaystyle l(n)=\frac{n×\sqrt{2-2\cos (360^{\circ}/n)}}{2\pi}\)
半角の公式より、
\(\displaystyle l(n)=\frac{2n\sin (180^{\circ}/n)}{2\pi}\)
一方、円の面積とその円に内接する正\(n\)角形の面積の比を\(s(n)\)とすると、
\(\displaystyle s(n)=\frac{n×1/2\sin (360^{\circ}/n)}{\pi}\)
\(=\displaystyle \frac{n\sin (360^{\circ}/n)}{2\pi}\)
次に，周の長さの比\(l(n)\)と面積の比\(s(n)\)を比較します。
\(\displaystyle \frac{l(n)}{s(n)}=\frac{2\sin (180^{\circ}/n)}{\sin (360^{\circ}/n)}\)
倍角の公式より、
\(\displaystyle \frac{l(n)}{s(n)}=\frac{2\sin (180^{\circ}/n)}{2\sin (180^{\circ}/n)\cos (180^{\circ}/n)}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{\cos (180^{\circ}/n)}\)\(> 1 (n\ge3)\)
以上より、面積の比より周の長さの比の方が大きいことが分かります。
すなわち、同じ正多角形であれば、面積より周の長さを計算した方が、円周率の近似値を高い精度で導くことができることが分かりました。
また、
\(\displaystyle s(2n)=\frac{2n\sin (360^{\circ}/2n)}{2\pi}\)
\(=\displaystyle \frac{2n\sin (180^{\circ}/n)}{2\pi}=l(n)\)
となり、正\(n\)角形の周の長さによって導かれる円周率近似値は、正\(2n\)角形の面積によって導かれる円周率近似値と等しいことが分かりました。
正多角形と円周率近似値の関係
今回の問題では、正八角形を利用して円周率が\(3.05\)より大きいことを証明できました。
それでは、正\(n\)角形（\(n=3,4,5,…\)）を利用した場合、円周率の近似精度はどうなるでしょうか。
下のグラフは、正\(n\)角形を利用した場合の円周率の近似値をまとめたものです。
円周率が\(3.05\)より大きいことを証明するためには、円の周の長さを利用する場合は正八角形以上、円の面積を利用する場合は正十五角形以上で近似する必要があります。
次に、\(n\)を十分大きくした場合の円周率の近似精度を求めます（ここからは弧度法を利用します）。
正\(n\)角形の周の長さによって導かれる円周率近似値を\(\pi_l(n)\)とし、近似誤差\(\epsilon(n)\)を以下のように定義します。
\(\epsilon(n)=\pi-\pi_l(n)\)
計算すると、
\(\epsilon(n)=\pi-n\sin (\pi/n)\)
ここからテイラー展開を利用して近似誤差を求めます。
\(\sin x\)を\(x=0\)の周りでテイラー展開すると、
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